复杂性物理在国际象棋游戏中找到了重要的临界点
对于他的分析，巴特利米（Barthelemy）选择代表国际象棋作为决策树，其中每个“分支”会导致胜利，损失或抽奖。在所有这些复杂性（尤其是中间游戏）中找到最佳举动的挑战，以将游戏玩耍转向有利的分支机构。那就是这些关键的临界点发挥作用的地方。这样的位置本质上是不稳定的，这就是为什么即使是一个小错误也会对比赛的轨迹产生巨大影响的原因。
组合复杂性的情况
Barthelemy将国际象棋匹配重新想象为一个部队的网络，在该部队中，碎片充当网络节点，它们的交互方式代表边缘，使用相互作用图捕获不同的零件攻击和互相防御。最重要的国际象棋是那些与给定匹配中许多其他碎片相互作用的国际棋盘，他通过测量一个节点在网络中所有节点对之间最短路径上的频率进行计算（其“中间性中心性”）。
他还计算了所谓的“脆弱得分”，这表明从板上删除那些关键的国际象棋是多么容易。他能够将此分析应用于过去200年中全球顶尖球员进行的20,000多场实际国际象棋比赛。
巴塞尔米（Barthelemy）发现，他的指标确实可以在特定比赛中识别出临界点。此外，当他平均对大量游戏进行分析时，出现了意外的通用模式。Barthelemy写道：我们观察到一个令人惊讶的普遍性：所有球员和所有开局的平均脆弱得分都是相同的。”在著名的国际象棋比赛中：“最大的脆弱性通常与关键时刻相吻合，其特征是果断地改变了比赛的平衡。”
具体而言，脆弱的分数在发生临界点临界点位置之前开始增加了大约八个动作，然后在此之后保持较高的15个动作。他写道：“这些结果表明，位置脆弱性遵循一个共同的轨迹，张力在中间游戏中达到峰值，并朝最后游戏散开。”“该分析突出了国际象棋的复杂动态，在攻击和防守之间的相互作用塑造了游戏的整体结构。”
物理评论E，2025。Doi：10.1103/physreve.00.004300（（关于dois）。
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