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我们的新方法可以帮助数学家利用AI技术来应对数学，物理和工程方面的长期挑战。
几个世纪以来，数学家已经开发了复杂的方程式来描述与流体动力学有关的基本物理学。这些法律控制着从飓风的漩涡涡流到气流抬起飞机机翼的一切。
专家可以仔细制定使理论违背实践的场景，从而导致从来没有身体上发生的情况。这些情况，例如当速度或压力等数量变得无限时，被称为“奇异或吹”。他们帮助数学家确定流体动力学方程式中的基本局限性，并有助于提高我们对物理世界如何运作的理解。
在新论文，我们向一些描述流体运动的最复杂的方程式引入了一个全新的数学爆炸家族。我们与来自布朗大学，纽约大学和斯坦福大学等机构的数学家和地球物理学家合作发布了这项工作
我们的方法提出了一种新的方式来利用AI技术来应对需要前所未有的准确性和解释性的数学，物理和工程方面的长期挑战。
不稳定奇点的重要性
稳定性是奇异性形成的关键方面。如果对小变化具有鲁棒性，则认为奇异性是稳定的。相反，不稳定的奇异性需要非常精确的条件。
预计不稳定的奇异性在流体动力学中的基础问题中起着重要作用欧拉和Navier-Stokes方程式。在Navier-Stokes方程中找到任何奇异性是六个著名的千年奖问题仍然无法解决。
借助我们的新型AI方法，我们首次系统地发现了三个不同流体方程式不稳定奇点的新家族。随着解决方案变得越来越不稳定，我们还观察到了一种模式。可以根据不稳定性的顺序绘制表征爆炸速度Lambda（_）的速度的数字，这是解决方案可以偏离爆炸的独特方式的数量。该模式在所研究的两个方程中可见，即不可压缩的多孔介质（IPM）和Boussinesq方程。这表明存在更不稳定的解决方案，其假设的lambda值位于同一条线上。
线图与我们的结果显示了lambda（»）中令人惊讶的清晰模式，这是一个密钥参数，代表吹气的速度，因为我们发现越来越不稳定的解决方案。在不可压缩的多孔介质（IPM）和BousSinesQ方程中都可以看到这种模式。
我们通过结合机器学习技术（例如用于培训神经网络的二阶优化器）来发现这些奇点。这些方法使我们能够将精度提高到前所未有的水平。作为参考，我们解决的最大错误等同于将地球直径预测到几厘米之内。
在这里，我们展示了研究之一的涡度（©）字段的示例。这是每个点旋转的液体旋转多少的量度。
为其中一个方程提供了三维表示和二维涡度（©）字段的可视化。
我们还为我们发现的所有不稳定性展示了沿着轴的同一磁场的一维切片，显示了日益不稳定的奇异性的演变。
线图显示了上面显示的一维切片（通过相同的二维涡度（©）字段），显示了越来越不稳定的奇点的演变。
小说方法导航了广阔的奇异景观
我们的方法是基于使用物理信息的神经网络（PINN）的使用。与传统的神经网络从广泛的数据集中学习，我们培训了模型以匹配对物理定律进行建模的方程式。不断检查网络的输出与物理方程式的期望，并通过最大程度地减少其残差（其解决方案无法满足方程式）来学习。
通过嵌入数学见解并实现极高的精确度，我们将Pinns转变为发现难以捉摸的奇点的发现工具。
该研究的第一作者和纽约大学的博士后研究员旺吉·王（Yongji Wang）。
我们对PINN的使用超出了其作为用于解决部分微分方程的通用工具的典型作用（PDES）。通过将数学见解直接嵌入培训中，我们能够捕获具有长期挑战常规方法的不稳定奇异性等难以捉摸的解决方案。
同时，我们开发了一个高精度框架，将Pinn推到了近机精度，从而实现了严格的计算机辅助证明所需的精度。
计算机辅助数学的新时代
这一突破代表了进行数学研究的一种新方法，将深厚的数学见解与最先进的AI相结合。我们为这项工作感到兴奋，可以帮助您进入一个新时代，在这个新时代，通过AI和计算机辅助的证据应对长期存在的挑战。
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致谢
This work was a joint effort by: Yongji Wang, Mehdi Bennani, James Martens, Sébastien Racanière, Sam Blackwell, Alex Matthews, Stanislav Nikolov, Gonzalo Cao-Labora, Daniel S. Park, Martin Arjovsky, Daniel Worrall, Chongli Qin, Ferran Alet, BorislavKozlovskii，Nenadtomaå即，Alex Davies和Pushmeet Kohli
Tristan Buckmaster，Bogdan Georgiev，JavierGãmez-Serrano，Ray Jiang和Ching-Yao Lai。